Finite Elemente Untersuchung zeigt den Einfluss der Gehäusesteifigkeit auf die Verzahnungslaufeigenschaften von Getrieben

Finite Elemente Simulation: Seit ein paar Jahren gerät der Einfluss der Gehäuseverformung zunehmend in den Fokus, wenn es um die Optimierung von Getrieben geht. Kontrovers ist, wie groß der Einfluss der Gehäuseverformung auf die Lastverteilung im Zahneingriff und die Lagerlebensdauer ist. Es gibt keine objektiven Untersuchungen zu diesem Thema und die Aussagen erfahrener Ingenieure sind widersprüchlich.

Autoren & Bildkredits

Dipl.-Ing. J. Langhart und Dr.-Ing. I. Zotos von Kisssoft in Bubikon, Schweiz.

Dr.-Ing. G. Franzoso von Cadfem (Schweiz) in Aadorf.

Alle Bilder: Kisssoft

Erste intensive Untersuchungen und Publikationen [1] zeigten, dass unter Last gewisse Gehäuseverformungen auftreten. Bei den Stirnrädern verursachen sie jedoch oft eine parallele Verschiebung innerhalb der Eingriffsebene, so dass kein nennenswerter Einfluss auf die Lastverteilung im Zahneingriff feststellbar ist. Zudem sind die üblichen Fertigungstoleranzen für Gehäuse und Zahnräder sowie Wellen- und Lagerverformungen deutlich höher und haben den größten Einfluss auf die Lastverteilung und somit auch auf die Bestimmung der Modifikationen. Auch bei Kegelradgetrieben zeigte es sich, dass teilweise thermische Längungen einen größeren Einfluss haben als die Gehäusedeformation.

In vielen Diskussionen mit Getriebeingenieuren, aber auch mit FE-Spezialisten (FE für Finite Elemente), ergeben sich immer wieder interessante Aspekte aus dem Getriebebau sowie der FE-Modellierung, welche in der vorliegenden Untersuchung genauer betrachtet werden.

Zunächst wird die Gehäuseverformung beeinflusst durch unterschiedliche Gehäusewerkstoffe wie Gusseisen oder Aluminium-Legierungen. Ein weitere Punkt betrifft Asymmetrien auf Grund von beispielsweise ungleichmäßigen Gehäusebefestigungen durch fehlende oder lose Befestigungsschrauben. Auch die dynamischen Verformungen eines Gehäuses aufgrund von verschiedenen Eigenformen werden hier berücksichtigt.

Abschließend werden in dieser Studie Empfehlungen und Richtlinien für den Getriebekonstrukteur gegeben, die ihm helfen sollen, eine Entscheidung zu treffen, ob und in welcher Detaillierungsgüte die Gehäusesteifigkeit für die Getriebeoptimierung berücksichtigt werden soll.

Ausgangsbedingungen klarstellen

Das untersuchte Getriebe enthält eine Kegelradstufe als Eingang und zwei Stirnradstufen als Ausgang. Die Wälzlager werden mit der inneren Geometrie gerechnet, bedeutet, der Kontakt zwischen Rollenkörpern und Innen- und Außenring gilt als elastisch und die Wälzlagersteifigkeit wird berücksichtigt. Die Getriebetemperatur ist in der Betrachtung als 80 °C angenommen; die Temperatur beeinflusst die Länge der Wellen ebenso wie das reduzierte Lagerspiel.

Das Getriebe wurde in Kisssys [2] modelliert. Bild 2 zeigt die resultierenden radialen Lagerkräfte im Zugbetrieb. Das Gehäuse wurde mit der FE Software Ansys berechnet [3]. Dabei sind die zylindrischen Flächen jeder Gehäusebohrung mit dem Masterknoten durch verformbare Elemente verbunden (RB3-Elemente). Die drei Gehäuseteile sind durch Verbundkontakt zusammengehalten. Der Kontakt des Gehäuses mit dem Fundament ist „reibungsfrei ohne Trennung“, womit ein Gleiten des Gehäusebodens auf dem Fundament möglich ist, nicht jedoch ein Durchsenken oder Abheben der Flächen Bild 1. Die sechs Schraubenbohrungen sind festgehalten. Somit sind die Randbedingungen linear und erlauben damit die lineare Berechnung.

Für die Untersuchung werden mehrere Veränderungen am Gehäuse oder an den Randbedingungen vorgenommen, wie unterschiedliche Gehäusewerkstoffe, fehlende Schrauben, veränderte Lasteinleitungen und andere Kontaktarten zum Fundament. Für alle diese Varianten wird aus Ansys eine separate Steifigkeitsmatrix extrahiert und in Kisssys hinterlegt.

Als Resultat wird die Gehäusedeformation an den Lagerstellen ausgewertet, was gleichzeitig der Verschiebung der Lageraußenringe entspricht. Für die Bewertung des Zahneingriffs werden die Breitenlastfaktoren KHb für die beiden Stirnradstufen und die VH-Verlagerungen für die Kegelstufe herangezogen.

Gehäusewerkstoff in der FE-Simulation abbilden

Der Gehäusewerkstoff hat aufgrund des Elastizitätsmoduls einen großen Einfluss auf die Gehäusedeformation. Nachfolgend werden die Werkstoffe Gusseisen und Aluminium betrachtet. Auf Grund des tieferen Elastizitätsmoduls von Aluminium ist die Gehäusedeformation entsprechend grösser (Bild 3).

Die Auswertung der Verzahnungslaufeigenschaften zeigt, dass für die Stirnradstufen der Breitenlastfaktor KHb aufgrund der mehrheitlich parallelen Verschiebungen der Wellen kaum verändert wird. In Bild 4 sind die Breitenlastfaktoren aufgeführt, wenn das Gehäuse als Gusseisen oder Aluminium ausgeführt wird. Als Referenz werden die Kennwerte aus der Berechnung mit „unendlich“ steifem Gehäuse aufgezeigt.

Bei den Kegelrad-Verlagerungen sind hingegen die Unterschiede größer, insbesondere bei den V- und J-Verlagerungen. Unterschiedliche Verlagerungen bei Kegelrädern wirken sich typischerweise auch auf das Tragbild aus, weshalb bei nachgiebigen Gehäusen die Kegelradstufe genauer zu betrachten ist. Hingegen zeigt es sich, dass zwischen der Referenz (unendlich steifes Gehäuse) und dem Gehäuse aus Gusseisen fast kein Unterschied besteht.

Finite Elemente: Masterknoten-Zuordnung zur druckbelasteten Lagerhälfte

Für die bisherigen Untersuchungen wurde bei der Modellierung in der FE-Simulation angenommen, dass die Lagermittelpunkte (Masterknoten) mit der kompletten Bohrungsfläche des Gehäuses verbunden sind. Das hat für die Simulation zur Folge, dass die Lageraußenringe neben der Druckbelastung auch Zugkräfte auf die Gehäusebohrung übertragen. Im Vergleich zur Realität stellt das eine zu steife Modellierung dar, weil in Wirklichkeit die Lagerkräfte nur als Druckkräfte, nicht aber als Zugkräfte wirken können.

Um diesem Verhalten im FE gerecht zu werden, werden die Gehäusebohrungen in zwei Hälften durch eine Schnittebene unterteilt, die normal zu den Lagerkräften verläuft. Anschließend werden die druckbelasteten Lagerhälften mit dem Masterknoten im Bohrungszentrum verbunden. Die Lagerkraftrichtungen werden vorab aus Kisssys ermittelt.

Die Auswertung der Gehäusedeformation zeigt dann, dass sich die Lager um zusätzlich etwa 16 μm gegenüber der Berechnung mit der ursprünglichen Modellierung verschieben (Bild 5).

Die Verzahnungseigenschaften im vorliegenden Getriebe sind durch diese zusätzliche Verschiebung jedoch kaum beeinflusst. Für die erste Stirnradstufe beträgt die Breitenlastverteilung fast unverändert KHβ = 1.19. Die Breitenlastverteilung KHβ der zweiten Stirnradstufen beträgt neu 1.14 gegenüber 1.16. Die Verlagerungswerte V und H der Kegelradstufe bleiben fast unverändert (Bild 6).

Grundsätzlich sind die Änderungen aufgrund der unterschiedlichen Modellierungsart eher gering, was zu einem großen Teil dem steifen Gehäuse geschuldet ist. Für eine detaillierte Analyse der Gehäusedeformation ist diese Modellierungsart auf jeden Fall zu empfehlen.

Gehäusebefestigung und Kontaktdefinition zum Fundament in Finiten Elementen

Nachfolgend wird die Verschraubung des Getriebes zum Fundament geändert. Die Absicht ist zu prüfen, ob eine asymmetrische Befestigung zu einem stärkeren Abheben und damit zur Verwindung des Gehäuses führt, welche in einer stärkeren Schiefstellung der Verzahnung resultiert.

Dazu wird für die Finite-Elemente-Modellierung die Kontaktdefinition des Gehäuses zum Fundament modifiziert. Die ursprüngliche Kontaktbedingung „reibungsfrei ohne Trennung“ schränkt die Freiheitsgrade des Gehäuses zu stark ein, da diese kein Abheben des Gehäuses erlaubt.

Die Befestigung wird neu nicht mehr über die gesamte Bodenfläche, sondern nur noch an den Stellen der Befestigungsschrauben modelliert und die Kontaktdefinition auf „nur Druck“ geändert (das Fundament wird seinerseits auch als druckstarr angenommen). Diese Randbedingungen erlauben das Abheben des Gehäuses, jedoch kein Absenken. Andere Kontaktdefinitionen, welche zusätzlich ein Absenken des Gehäuses ermöglichen, sind für den Getriebebau unrealistisch und werden hier nicht betrachtet.

Diese neuen Kontaktdefinitionen bewirken ein nichtlineares Verformungsverhalten des Gehäuses und erfordern eine nichtlineare Berechnungsmethodik. Der Ablauf ist dabei so, dass vorgängig die Lagerkräfte aus Kisssys auf das FE-Modell übertragen und die Verformung in FE mit dem nichtlinearen Verformungsverhalten berechnet wird. Daraufhin wird die Steifigkeitsmatrix und der nichtlineare Anteil der Verschiebung der Masterknoten aus dem FE extrahiert und an Kisssys übergeben. In Kisssys wird somit die Verformung aus dem Anteil der linearen Verschiebung über die Steifigkeitsmatrix (mit der Differenz der Lagerkräfte) und dem nichtlinearen Anteil der Verschiebungen zusammengesetzt.

Als erstes werden bei der Stirnradausgangsstufe zwei gegenüberliegende Befestigungsschrauben weggelassen (Abtriebsschrauben, Bild 7). Gleichzeitig wird die Drehrichtung an der Eingangswelle so eingestellt, dass die Lagerkräfte zum Abheben des Gehäuses vom Fundament führen können (Bild 8).

Die Verformung des Gehäuses ist aufgrund der fehlenden Befestigungsschrauben im Bereich der Abtriebsseite deutlich erhöht (Bild 9).

Die Verformungsrechnung mit Finite Elemente (FE) bestätigt die qualitative Verschiebung (Bild 10).

Der Einfluss auf die Verzahnungen ist jedoch erneut gering. Die Verformung des Gehäuses erfolgt weitgehend parallel zur Welle 4, eine eigentliche Schiefstellung der Welle 4 erfolgt offensichtlich nicht. Der Einfluss auf die Breitenlastverteilung des Zahneingriffs der Abtriebsstufe ist vernachlässigbar.

Nachfolgend wird eine asymmetrische Gehäusebefestigung simuliert. Dazu wird die Befestigungsschraube 5 in der Nähe der Getriebeausgangsseite weggelassen. Das Lager 1 der Abtriebswelle weist aufgrund des hohen Drehmomentes eine sehr hohe Lagerkraft auf (Bild 11, links). Somit ist eine Verwindung des Gehäuses zu befürchten, welche sich schädlich auf den Zahneingriff der Stirnradstufe auswirken könnte. Die Berechnung muss wiederum mit der nichtlinearen Methodik durchgeführt werden.

Die Gehäusedeformation verhält sich wie erwartet. Es zeigt sich eine erhöhte Verschiebung des Lagers an der Welle 4, welche mit ca. 20 μm jedoch geringer ist als zuvor, wenn beide Schrauben fehlen (siehe Bild 9). Die kleinere Gehäusedeformation am Lager 1 begründet sich damit, dass das Gehäuse über die vorhandene Befestigungsschraube auf der gegenüberliegenden Seite eine stützende Wirkung erfährt. Das deutet auf eine hohe Verwindungssteifigkeit des Gehäuses hin. Am Lager 2 ist folgerichtig keine zusätzliche Verlagerung zu beobachten (Bild 12).

Da sich die Verschiebungen der Lageraußenringe auch hier nur innerhalb von wenigen Hundertsteln bewegen, wird auf eine erneute Auswertung der Verzahnungslaufeigenschaften verzichtet.

Die Dynamische Verformung mit Finite Elemente betrachten

In der Praxis können Gehäuseverformungen durch Schwingungen verursacht werden. Das Gehäuse wird durch eine Frequenz aus dem Antriebsstrang angeregt und gerät in (gedämpfte) Resonanz. Da die Eigenform für jede Eigenfrequenz unterschiedlich ist, ist somit auch der mögliche Einfluss auf die Verzahnungslaufeigenschaften für jede Eigenfrequenz separat zu prüfen.

Die Eigenfrequenzen des Gehäuses werden in Finite Elemente (FE) ermittelt. Vorgängig werden die Lagerkräfte aufgebracht, die Steifigkeit des Antriebsstranges (Wälzlagersteifigkeit, etc.) wird jedoch nicht berücksichtigt. Die Eigenfrequenzen 1-20 liegen zwischen 154 und 805 Hz. Die potenziellen Anregungsfrequenzen aus dem Antriebsstrang (Wälzlager Überrollungen, Zahneingriffsfrequenzen und Wellenunwuchten) werden mit einer Antriebsdrehzahl von n=1500 rpm ermittelt.

Die Frequenzen aus der Unwucht der 4 Wellen liegen bei höchstens 25 Hz und fallen als mögliche Anregungsfrequenzen weg. Die Wälzlagerfrequenzen hingegen betragen bis 190 Hz, und die Verzahnungseingriffsfrequenzen bewegen sich im Bereich von 70 bis 425 Hz (alles erste Ordnungen). Diese Frequenzen, sowie auch deren Höherharmonische, kommen als mögliche Anregungen in Frage. Als potenzielle Resonanzbereiche werden somit die zweite, vierte und sechste Eigenfrequenz festgelegt. Die entsprechenden Eigenformen sind in Bild 13 dargestellt.

Für die Deformationsrechnung des Gehäuses wird die Auslenkung als Annahme manuell auf eine maximale Amplitude von 2 mm skaliert, da keine dynamische Analyse durchgeführt wird (keine Erregung durch transiente Erregungskraft, keine Dämpfung). Die durch die Eigenform entstehende Verschiebung der Masterknoten wird gemäß der nichtlinearen Berechnungsmethodik in Kisssys übernommen.

Für die Auswertung der Lagerverschiebungen werden die Werte auf den Höchstwert aus den 3 Eigenformen bezogen und auf den Größtwert = 1 skaliert. Das Histogramm zeigt, dass die Lagerverschiebungen für die Eigenformen 2, 4 und 6 unterschiedlich sind, während 2 und 6 sich in diesem Fall sehr ähnlich darstellen (Bild 14). Ein Einfluss auf die Eingriffseigenschaften kann somit nur qualitativ abgeschätzt werden. Diese hilft dem Ingenieur trotzdem weiter, die kritische Eigenfrequenz zu bestimmen, für welche eine detailliertere Auswertung durchgeführt werden sollte.

Empfehlungen für die Gehäusekonstruktion und die Finite Elemente Modellierung

Aus dieser detaillierten Untersuchung können die folgenden Empfehlungen für die Berechnung der Gehäuseverformung abgeleitet werden.

Zuerst soll der Konstrukteur den Betrag und die Richtung der Lagerkräfte prüfen. Diese geben einen wichtigen Hinweis, ob eine Verwindung des Gehäuses anzunehmen ist. Wenn die Lagerkräfte einer Verzahnungsstufe in paralleler Richtung und mit ähnlicher Größe wirken, ist bei symmetrischen Gehäusen und Randbedingungen ein geringer Einfluss des Gehäuses auf die Verzahnungslaufeigenschaften zu erwarten. Die Lagerkraftrichtungen sind bei beiden Betriebsarten, Vorwärts- und Rückwärtslauf, zu betrachten.

Der Gehäusewerkstoff hat einen großen Einfluss auf die Lagerverschiebung und bei Leichtbauwerkstoffen ist dementsprechend ein Einfluss der Verformung nachzuprüfen. Insbesondere für Kegelradstufen ist ein Leichtbaugehäuse auf jeden Fall mit in die Verlagerungsrechnung einzubeziehen.

Die Lasteinleitung der Lagerkräfte mittels unterteilten Lagerhälften am Gehäuse wird für eine detaillierte Gehäusedeformationsrechnung empfohlen, da diese realistischer ist. Diese Modellierungsart ist jedoch abhängig von der Lastrichtung, das heißt, es muss für Vorwärts- und Rückwärtslauf jeweils ein separates Modell und Steifigkeitsmatrix erstellt werden, was den Modellierungsaufwand deutlich erhöht.

Die Kontaktdefinition zwischen Gehäuse und Fundament sollte realistischerweise so vorgenommen werden, dass das Gehäuse an den Schrauben mit dem Fundament fixiert und das Gehäuse gegenüber dem Fundament abgestützt ist. Die Kontaktdefinition soll jedoch ein Abheben des Gehäuses vom Fundament zulassen. Aufgrund dieser Kontaktdefinitionen muss nachfolgend mit nichtlinearen Methoden gerechnet werden.

Wenn die Gehäuseverformungen aufgrund dynamischer Effekte berücksichtigt werden sollen, können die qualitativen Verformungen mit dem vereinfachten Ansatz überprüft werden, ohne dass eine aufwendige dynamische Analyse durchgeführt werden muss. Für genauere Analysen wird jedoch eine echte dynamische Simulation empfohlen, da diese auch für eine Auswertung der Geräuschabstrahlung (beispielsweise NVH-Analyse) verwendet werden könnte.

Fazit: Das ist bei Finite Elemente Modellierung zu beachten

Als Nachfolgestudie zu vorangegangenen Untersuchungen, bei denen Lagersteifigkeit, Fertigungstoleranzen und thermische Auswirkungen im Detail betrachtet wurden, werden bei dieser Studie der Einfluss der FE-Modellierung bei statischen und dynamischen Bedingungen untersucht.

Aus dieser Studie folgt, dass für industrielle Getriebe mit robusten Gehäusekonstruktionen auch unterschiedliche Modellierungsarten in der Finiten-Elemente-Modellierung die Verzahnungslaufeigenschaften kaum beeinflussen. Trotzdem zeigt diese Studie auch, dass die FE-Modellierung einige Details aufweist, die der Konstrukteur je nach der geforderten Detaillierungsgüte gezielt einsetzen sollte.

Eine vereinfachte Black-Box-Software anzuwenden kann zu falschen Resultaten führen, gerade bei nichtlinearem Verformungsverhalten. Der Einsatz von Steifigkeitsmatrizen aus einer FE-Analyse und die Auswertung in der Getriebesoftware ist somit eine sehr effiziente und genaue Methode, die zu besten Resultaten in der Getriebeoptimierung führt.

Literatur

[1]          Langhart, J., Zotos, I., Franzoso, G.: Gehäusesteifigkeit am Getriebe – Mythos oder Faktum?,
SMK 2016, S. 173-191

[2]          Kisssoft AG, Programme für die Berechnung von Maschinenelementen, CH-Bubikon

[3]          Ansys Inc., Canonsburg, Pennsylvania, USA

Online-Redaktion: Jan Bihn, Digital Engineering Magazin

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